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主成分分析，即Principal Component Analysis（PCA），是多元统计中的重要内容，也广泛应用于机器学习和其它领域。它的主要作用是对高维数据进行降维。PCA把原先的n个特征用数目更少的k个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的k个特征互不相关。关于PCA的更多介绍，请参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis.

主成分分析（PCA） vs 多元判别式分析（MDA）

PCA和MDA都是线性变换的方法，二者关系密切。在PCA中，我们寻找数据集中最大化方差的成分，在MDA中，我们对类间最大散布的方向更感兴趣。

一句话，通过PCA，我们将整个数据集（不带类别标签）映射到一个子空间中，在MDA中，我们致力于找到一个能够最好区分各类的最佳子集。粗略来讲，PCA是通过寻找方差最大的轴（在一类中，因为PCA把整个数据集当做一类），在MDA中，我们还需要最大化类间散布。

在通常的模式识别问题中，MDA往往在PCA后面。

PCA的主要算法如下：

组织数据形式，以便于模型使用；
计算样本每个特征的平均值；
每个样本数据减去该特征的平均值（归一化处理）；
求协方差矩阵；
找到协方差矩阵的特征值和特征向量；
对特征值和特征向量重新排列（特征值从大到小排列）；
对特征值求取累计贡献率；
对累计贡献率按照某个特定比例，选取特征向量集的字迹合；
对原始数据（第三步后）。

其中协方差矩阵的分解可以通过按对称矩阵的特征向量来，也可以通过分解矩阵的SVD来实现，而在Scikit-learn中，也是采用SVD来实现PCA算法的。

本文将用三种方法来实现PCA算法，一种是原始算法，即上面所描述的算法过程，具体的计算方法和过程，可以参考：A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith. 一种是带SVD的原始算法，在Python的Numpy模块中已经实现了SVD算法，并且将特征值从大从小排列，省去了对特征值和特征向量重新排列这一步。最后一种方法是用Python的Scikit-learn模块实现的PCA类直接进行计算，来验证前面两种方法的正确性。

用以上三种方法来实现PCA的完整的Python如下：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import sys
#returns choosing how many main factors
def index_lst(lst, component=0, rate=0):
  #component: numbers of main factors
  #rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors)
  #rate range suggest: (0.8,1)
  #if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst)
  if component and rate:
    print('Component and rate must choose only one!')
    sys.exit(0)
  if not component and not rate:
    print('Invalid parameter for numbers of components!')
    sys.exit(0)
  elif component:
    print('Choosing by component, components are %s......'%component)
    return component
  else:
    print('Choosing by rate, rate is %s ......'%rate)
    for i in range(1, len(lst)):
      if sum(lst[:i])/sum(lst) >= rate:
        return i
    return 0

def main():
  # test data
  mat = [[-1,-1,0,2,1],[2,0,0,-1,-1],[2,0,1,1,0]]
  
  # simple transform of test data
  Mat = np.array(mat, dtype='float64')
  print('Before PCA transforMation, data is:\n', Mat)
  print('\nMethod 1: PCA by original algorithm:')
  p,n = np.shape(Mat) # shape of Mat 
  t = np.mean(Mat, 0) # mean of each column
  
  # substract the mean of each column
  for i in range(p):
    for j in range(n):
      Mat[i,j] = float(Mat[i,j]-t[j])
      
  # covariance Matrix
  cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat)/(p-1)
  
  # PCA by original algorithm
  # eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending
  U,V = np.linalg.eigh(cov_Mat) 
  # Rearrange the eigenvectors and eigenvalues
  U = U[::-1]
  for i in range(n):
    V[i,:] = V[i,:][::-1]
  # choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0
  Index = index_lst(U, component=2) # choose how many main factors
  if Index:
    v = V[:,:Index] # subset of Unitary matrix
  else: # improper rate choice may return Index=0
    print('Invalid rate choice.\nPlease adjust the rate.')
    print('Rate distribute follows:')
    print([sum(U[:i])/sum(U) for i in range(1, len(U)+1)])
    sys.exit(0)
  # data transformation
  T1 = np.dot(Mat, v)
  # print the transformed data
  print('We choose %d main factors.'%Index)
  print('After PCA transformation, data becomes:\n',T1)
  
  # PCA by original algorithm using SVD
  print('\nMethod 2: PCA by original algorithm using SVD:')
  # u: Unitary matrix, eigenvectors in columns 
  # d: list of the singular values, sorted in descending order
  u,d,v = np.linalg.svd(cov_Mat)
  Index = index_lst(d, rate=0.95) # choose how many main factors
  T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index]) # transformed data
  print('We choose %d main factors.'%Index)
  print('After PCA transformation, data becomes:\n',T2)
  
  # PCA by Scikit-learn
  pca = PCA(n_components=2) # n_components can be integer or float in (0,1)
  pca.fit(mat) # fit the model
  print('\nMethod 3: PCA by Scikit-learn:')
  print('After PCA transformation, data becomes:')
  print(pca.fit_transform(mat)) # transformed data      
main()

运行以上代码，输出结果为：