夹角余弦(Cosine)

也可以叫余弦相似度。 几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

(1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：

(2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

即：

余弦取值范围为[-1,1]。求得两个向量的夹角，并得出夹角对应的余弦值，此余弦值就可以用来表征这两个向量的相似性。夹角越小，趋近于0度，余弦值越接近于1，它们的方向更加吻合，则越相似。当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。当余弦值为0时，两向量正交，夹角为90度。因此可以看出，余弦相似度与向量的幅值无关，只与向量的方向相关。

import numpy as np
x=np.random.random(10)
y=np.random.random(10)
 
#方法一：根据公式求解
d1=np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))
 
#方法二：根据scipy库求解
from scipy.spatial.distance import pdist
X=np.vstack([x,y])
d2=1-pdist(X,'cosine')

两个向量完全相等时，余弦值为1，如下的代码计算出来的d=1。

d=1-pdist([x,x],'cosine')

皮尔逊相关系数（Pearson correlation）

(1) 皮尔逊相关系数的定义

前面提到的余弦相似度只与向量方向有关，但它会受到向量的平移影响，在夹角余弦公式中如果将 x 平移到 x+1, 余弦值就会改变。怎样才能实现平移不变性？这就要用到皮尔逊相关系数（Pearson correlation），有时候也直接叫相关系数。

如果将夹角余弦公式写成：

皮尔逊相关系数具有平移不变性和尺度不变性，计算出了两个向量（维度）的相关性。

在python中的实现：'

import numpy as np
x=np.random.random(10)
y=np.random.random(10)
 
#方法一：根据公式求解
x_=x-np.mean(x)
y_=y-np.mean(y)
d1=np.dot(x_,y_)/(np.linalg.norm(x_)*np.linalg.norm(y_))
 
#方法二：根据numpy库求解
X=np.vstack([x,y])
d2=np.corrcoef(X)[0][1]

相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法，相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大，则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时，相关系数取值为1（正线性相关）或-1（负线性相关）。